ความแตกต่างของวิทยาศาสตร์(ธรรมชาติ)กับคณิตศาสตร์
วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ (Natural Science) ต่างจากคณิตศาสตร์ตรงที่รูปแบบของความจริงที่ต่างกัน คณิตศาสตร์สนใจความจริงที่เป็นนามธรรม เป็นความจริงของแบบ (form) เป็นภววิสัย (objective) ตรงกันข้าม วิทยาศาสตร์สนใจความจริงที่เป็นรูปธรรม สนใจธรรมชาติของของที่เห็น สัมผัส วัดได้ ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์จึงต้องเดาว่า เงื่อนไขพื้นฐานของธรรมชาตินั้นคืออะไร สิ่งที่เราเห็นและสัมผัสอยู่คืออะไร จากนั้นจึงหาความเข้าใจผ่านความรู้เรื่องความจริงของแบบ (นั่นคือการใช้คณิตศาสตร์) เมื่อทฤษฎีเดาผิดว่าเงื่อนไขพื้นฐานของธรรมชาตินั้นคืออะไร ทฤษฎีนั้นก็ผิดไปด้วย ในขณะที่ความจริงของแบบก็ยังรักษาความจริงไว้อยู่
เพื่อให้เห็นภาพได้ง่ายขึ้น อาจจะยกตัวอย่างว่า สมมติว่ามีมนุษย์ยุคหินเกิดในแม่น้ำ ตอนนั้นพวกเขายังไม่มีความรู้ใด ๆ เลย แต่เขาก็ใช้ชีวิตอยู่เป็นหลักแหล่งใกล้กับแม่น้ำ ในกรอบความรู้ของพวกเขา แม่น้ำเป็นเส้นตรง ไม่โค้ง พวกเขาก็สังเกตว่ามีสิ่งอื่นที่มีลักษณะตรงเหมือนกัน พวกเขาก็สร้างแบบจำลองที่จำลองความเป็นเส้นตรงมา พวกเขาคิดเกี่ยวกับเส้นตรงที่ขนานกันและมุมของมัน พวกเขาคำนวณว่าแม่น้ำนี้จะไปจรดกับพื้นที่อื่น ๆ เช่นไร พวกเขาคิดวิธีบอกพิกัดที่พวกเขาอยู่ผ่านการวัดระยะห่างของแม่น้ำใด ๆ สองแม่น้ำที่ตั้งฉากกัน เราอาจจะกล่าวได้ว่าทฤษฎีที่ว่า “แม่น้ำเป็นเส้นตรง” หรือว่า “ถ้ามีแม่น้ำที่ขนานกันในช่วงหนึ่ง ก็จะขนานกันตลอดไป” เป็นทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ ส่วนทฤษฎีที่เกี่ยวกับรูปแบบเพียงอย่างเดียว เช่นว่า เส้นตรงที่ขนานสองเส้น จะขนานกันตลอดไป มุมแย้งของเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน เป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ ทีนี้ ถ้าเกิดว่าวันหนึ่งมีตาลุงคนนึงเดินไปเจอว่าแม่น้ำมันโค้งนี่หว่า ทฤษฎีที่อ้างอิง “ความเป็นเส้นตรงของแม่น้ำ” ก็จะผิดทันที ในขณะที่ทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่พวกเขาคิดมาจากความเป็นเส้นตรงของแม่น้ำ ก็ยังจะคงจริงอยู่ เพราะมันขึ้นอยู่กับรูปแบบ ไม่ได้ขึ้นกับของในธรรมชาติ
ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์จะจริงหรือไม่ อยู่ที่ผลของมันว่าตรงกับความจริงที่เป็นรูปธรรม เช่น ฟ้าฝนไม่ตก นิวตริโนมีมวล หรือ โลกกลม ในขณะที่ทฤษฎีบทคณิตศาสตร์จะจริงหรือไม่อยู่ที่การให้เหตุผลของมันว่าเป็น “สัจจะนิรันด์” หรือไม่ หลาย ๆ คนอาจจะจำวิชาตรรกศาสตร์ที่เรียนมาตอนม.ปลายได้ สิ่งที่เรียกว่าสัจจะนิรันด์นี่แหละที่เป็นเครื่องมือในการสร้างทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ขึ้นมา สัจจะนิรันด์คือประโยคที่เป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับความจริงของประพจน์ (ส่วน) ย่อย ๆ ตัวอย่างของประโยคที่เป็นสัจจะนิรันด์ก็อย่างเช่น “กบตัวนี้ไม่มีชีวิตหรือไม่ก็ไม่มีชีวิต” ไม่ว่ากบจะมีสีอะไรมันก็จะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นมีสีส้มหรือไม่ก็มีสีส้มไปเลย
ทีนี้การสร้างทฤษฎีบทก็ไม่ได้อยู่ลอย ๆ จากจินตนาการ แต่ก็จะเริ่มจากการ “กำหนด” ความจริงพื้นฐานขึ้นมา เช่น เราอาจจะเห็นว่าในธรรมชาติมีของหลายอย่างที่มีรูปแบบเป็น ชิ้น ๆ เราก็อยากจะนับมัน เราก็อาจจะนับด้วยตัวเลข นิ้วมือ หรือกิ่งไม้ ทีนี้ถ้าเราอยากจะหาว่าสมบัติของจำนวนที่เรานับกันนี้เป็นอย่างไร เราก็สามารถเริ่มได้จากการกำหนดความจริงพื้นฐานบรรยายจำนวนนับเพื่อที่เราจะไม่ต้องอ้างอะไรลอย ๆ ขึ้นมาใหม่ ๆ ทุกครั้งที่อยากจะสร้างทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ ซึ่งกฎสำหรับจำนวนนับอาจกำหนดได้ดังต่อไปนี้
- ศูนย์เป็นจำนวนนับ
- ตัวถัดไปของจำนวนนับก็เป็นจำนวนนับ
- ศูนย์ไม่เป็นตัวถัดไปของจำนวนนับใด ๆ
- ไม่มีจำนวนนับตัวไหนมีตัวถัดไปที่ซ้ำกัน
- สมบัติที่ศูนย์และตัวถัดไปของจำนวนนับมี ก็เป็นสมบัติของจำนวนนับด้วย
และเราก็จะได้ระบบจำนวนนับ ถ้าเราอยากจะพิสูจน์ว่าจำนวนนับมีจำนวนไม่จำกัดเราก็สามารถใช้ข้อสองในการให้เหตุผลได้โดยไม่ต้องไปกำหนดตรง ๆ ว่าจำนวนนับมีจำนวนอย่างไม่จำกัด ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทอีกหลากหลายอย่างได้จากใช้กฎที่เรากำหนดขึ้นมาได้ อย่างไรก็ดี ถ้าเราพิจารณาดี ๆ เราก็จะเห็นว่าการกำหนดเช่นนี้มีคำบางคำที่เราต้องรู้ความหมายของมันก่อน เช่น “ตัวถัดไป”, “ศูนย์”, หรือ “จำนวนนับ” ทีนี้งานหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำก็คือการหาว่าการกำหนดความจริงพื้นฐานแบบต่าง ๆ นั้นกระชับ, กว้างขวาง, หรือ น่าสนใจแค่ไหน สิ่งสำคัญคือการสร้างระบบเหล่านี้ให้มันสอดคล้องกับตัวมันเอง ไม่เสียอย่างนั้น เราจะอาจจะสามารถพิสูจน์สิ่งที่ขัดแย้งกันเอง เช่น “ศูนย์เป็นจำนวนนับ และ ศูนย์ไม่เป็นจำนวนนับ” จากกฏเกณฑ์ชุดเดียวกันได้
สำหรับ วิทยาศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์จะสร้างทฤษฏีจากการสำรวจธรรมชาติของอะไรสักอย่าง เช่น ธรรมชาติของสสาร ธรรมชาติของนก หรือว่า ธรรมชาติของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า จากนั้นพวกเค้าจะก็ “เดาแบบมีการศึกษา” ว่าสิ่งที่เกิดขึ้นในธรรมชาตินั้นมีหลักการพื้นฐานอย่างไร พวกเค้าก็จะทำการทำนายธรรมชาติด้วยหลักการพื้นฐานที่สร้างขึ้นมาเพื่อตรวจสอบดูว่าหลักการที่พวกเขาสร้างขึ้นมานั้นให้ผลการทำนายที่เป็นจริงกับสิ่งที่ธรรมชาติเป็นหรือไม่ หลาย ๆ ครั้งเราก็สามารถทำการสร้างคำทำนายเหล่านั้นผ่านการให้เหตุผลจากหลักการพื้นฐานได้เลย แต่ในบางกรณีเราก็จำเป็นต้องใช้การคำนวณเชิงตัวเลขหรือสถิติเข้ามาช่วยในการเดาคำทำนายจากหลักการพื้นฐานเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการนาเวียร์-สโตร์กซึ่งใช้บรรยายการไหลของของไหล ก็ถูกสร้างมาจากหลักการพื้นฐานที่ว่า
- ของเหลวนั้นเป็นเนื้อมวลที่ต่อเนื่องกัน ไม่ได้เป็นชิ้นเล็ก ๆ จำนวนมากอยู่รวมกัน,
- สมบัติที่ขึ้นอยู่กับเนื้อมวลและที่ที่มันอยู่ (เช่น ความดัน อัตราการไหล หรือ ความหนาแน่น) สามารถหาอนุพันธ์ได้, และ
- การไหลของของไหลอนุรักษ์พลังงาน โมเมนตัม และมวล
แม้ว่าหลักการพื้นฐานเหล่านี้จะดูเข้าใจได้ แต่การสร้างคำทำนายในการไหลของของไหลจากหลักการเหล่านี้ไม่ง่ายเลย ทำให้เราต้องใช้การคำนวณด้วยตัวเลขเข้ามา
งานของนักวิทยาศาสตร์จำนวนหนึ่งก็คือการทำนายจากหลักการพื้นฐานสำหรับกรณีที่เฉพาะต่าง ๆ เช่น ลองเอาสมการนี้ไปใช้กับระบบของการไหลของอากาศในท่อระบายอากาศ หรือศึกษาการไหลของหินหนืดใต้ผิวโลก
ทั้งหมดนี้สรุปได้ว่า วิทยาศาสตร์นั้นสนใจว่าธรรมชาติที่เราเห็น วัด หรือสัมผัสได้นี้มีหลักการพื้นฐานอย่างไร เราจะทำนายมันได้อย่างไรและสิ่งที่ทำนายได้มันบอกอะไรกับเรา ในขณะที่คณิตศาสตร์จะสนใจว่าหลักการพื้นฐานที่เราเลือกที่จะเชื่อมีความสอดคล้องกันในตัวไหม มีสมบัติอะไรที่น่าสนใจบ้าง
